Festkolloquium Approximationstheorie

Am Freitag, den 26. Januar 2018, ab 14.15 Uhr findet im Emmy-Noether-Hörsaal H12

das Festkolloquium "Approximationstheorie" zu Ehren von Prof. Dr. Gerhard Schmeißer statt.

 

Eine Anmeldung per Mail an geschaeftsstelle@math.fau.de bis 20.1.2017 wird erbeten.

Anreise

Eine Wegbeschreibung zu den Hörsälen des Departments Mathematik finden Sie hier.


Prof. Dr. Hans Peter Blatt

Vortrag 14.30 Uhr

Überkonvergenz und Nullstellen polynomialer und rationaler Approximationen

Abstract

Für Potenzreihen mit Konvergenzradius 1 hat R. Jentzsch (1914) gezeigt, dass jeder Randpunkt des Einheitskreises Häufungspunkt von Nullstellen der Partialsummen ist. Diese Partialsummen können wiederum als beste L2-Approximationen über innere Kreise interpretiert werden. Der Vortrag schlägt eine Brücke zwischen besten Approximationen zu einer Funktion bezüglich Polynomen vom Grad ≤ n, der Charakterisierung ihres höchsten Koeffzienten im Sinne von Cauchy-Hadamard, dem maximalen Konvergenz-gebiet und der Verteilung der Nullstellen der Approximationen. Durch den Einsatz von Elementen der Potentialtheorie führt dies zu Verallgemeinerungen von Sätzen von Jentzsch, Szegö, Erdös, Turán und Walsh. Abschließend wird die Situation für rationale Approximationen betrachtet und die wesentlich komplexere Beweislage andiskutiert.


Prof. Allal Guessab

Vortrag 16.00 Uhr

My Collaboration with Gerhard Schmeisser on Delaunay triangulation, Voronoi diagrams and their optimality criteria in multidimensional numerical integration

Abstract

In this lecture, we present the concepts of a Voronoi diagram and of a Delaunay triangulation. These two geometrical structures are important tools in many areas like Astronomy, Physics, Chemistry, Biology, Ecology, Economics, Mathematics and Computer Science. Here, we present a set of results showing some of the advantages of their optimality criteria in computing integral approximations, which are based upon a geometric point of view exploiting Delaunay triangulations and Voronoi tessellations. This summarizes parts of my collaboration in this area of research with Gerhard Schmeisser over many years. We begin by introducing a new class of cubature formulas for numerical integration (or multidimensional quadrature), that approximate from above (or respectively from below) the exact value of the integrals of every function having a certain type of convexity. Under suitable regularity assumptions, we show that all these integral approximations enjoy certain desirable properties. In particular, they can be totally characterized in terms of the approximation error generated by a multidimensional quadratic function. We show that the Delaunay triangulation, the Voronoi tessellation and their generalizations give access to efficient algorithms for computing these cubature formulas. We also briefly discuss some ongoing related research.

References

[1] Guessab, Allal; Schmeisser, Gerhard: Negative definite cubature formulae, extremality and
Delaunay triangulation. Constr. Approx. 31 (2010), no. 1, 95-113.
[2] Guessab, Allal; Schmeisser, Gerhard: Construction of positive definite cubature formulae and approximation of functions via Voronoi tessellations. Adv. Comput. Math. 32 (2010), no. 1,
25-41.
[3] Guessab, Allal; Nouisser, Otheman; Schmeisser, Gerhard: A definiteness theory for cubature
formulae of order two. Constr. Approx. 24 (2006), no. 3, 263-288.


Prof. Dr. Rudolf Stens

Vortrag 17.00 Uhr

Der Abtastsatz von Whittaker, Kotel'nikov und Shannon

Abstract

Der Abtastsatz von Whittaker, Kotel’nikov und Shannon ist insbesondere als fundamentaler Satz in der Nachrichtentechnik bekannt geworden. Aber auch aus rein mathematischer Sicht ist dieser Satz von großem Interesse, denn er steht in enger Beziehung zu vielen wichtigen Sätzen der Analysis, Fourieranalysis, Numerik und Zahlentheorie. In diesem Vortrag sollen einige dieser Beziehungen näher vorgestellt werden, z. B. der Zusammenhang mit der Poisson‘schen Summenformel, der Parseval-Formel, dem Satz von Paley-Wiener und der Funktionalgleichung der Riemann’schen Zetafunktion.