Inverse Probleme

Inverse Probleme

Inverse Probleme treten überall dort auf, wo unbekannte Größen durch einen indirekten und fehlerbehafteten Prozess gemessen werden: Die Position eines Tumors mithilfe von radiologischen Bildgebungsverfahren, die Kapazität eines unterirdischen Erdölreservoirs durch hydraulische Druckmessungen oder die Tiefe eines küstennahen Gewässers durch die Erfassung der Wellenbewegung an der Oberfläche.

Der physikalische Zusammenhang ist meist folgendermaßen gerichtet:

  • Die Position eines Tumors beeinflusst die Abschwächung von elektromagnetischer Strahlung im Gewebe
  • Die Kapazität eines Erdölreservoirs bestimmt (neben weiteren Parametern) die Druckmessungen
  • Die Tiefe eines Gewässers impliziert ein gewisses Wellenmuster an seiner Oberfläche

Dieser Zusammenhang (das sogenannte Vorwärtsmodell) ist häufig durch eine gut verstandene Differentialgleichung oder einfacher durch eine lineare Abbildung, wie zum Beispiel die Radontransformation, gegeben. Allerdings interessiert uns bei oben genannten Anwendungen typischerweise nicht die Ausgabe- sondern die Eingabegröße des Vorwärtsmodells, nämlich die Position des Tumors, die Kapazität des Reservoirs oder die Tiefe des Gewässers. Die Bestimmung einer solchen Ursache aus der Beobachtung ihrer Wirkung erklärt den Begriff „Inverses Problem“.

Das Vorwärtsmodell kann jedoch nicht einfach invertiert werden, da der Messprozess üblicherweise unter Informationsverlust und stochastischen Verfälschungen leidet. Man sagt, dass ein solches inverse Problem „schlecht gestellt“ ist. Das Arbeitsgebiet „Inverse Probleme“ befasst sich mit Methoden, wie diese Schlechtgestelltheit umgangen und gute
Approximationen an die gesuchten Unbekannten berechnet werden können.

Hierzu unterscheidet man zwei konzeptionell unterschiedliche Zugänge:

  1. Der Bayessche Ansatz beschreibt die Lösung des Inversen Problems als diejenige Ursache, die mit der größten Wahrscheinlichkeit die gemessenen Daten verursacht hat.
  2. Der variationelle Ansatz hingegen modelliert die Lösung als Minimierer eines Energiefunktionals, welches gewisse Eigenschaften forciert, die eine Lösung des inversen Problems besitzen sollte.