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Mathematische Bildgebung

Mathematische Bildgebung

In der mathematischen Bildgebung werden aus abstrakten Daten Bilder rekonstruiert, die sonst für den Menschen nicht unmittelbar beobachtbar sind. In medizinischen Anwendungsfällen wie CT oder MRT liegen die Daten nicht in einem Bildformat vor, sondern müssen durch mathematische Modelle in ein Bild überführt werden.
In der mathematischen Bildverarbeitung hingegen werden Bilder bezüglich einer oder mehrerer gewünschter Eigenschaften korrigiert. Beispielsweise kann Rauschen unterdrückt werden oder fehlende beziehungsweise störenden Bildteile rekonstruiert werden. Idealerweise werden Konzepte der Bildverarbeitung in den Bildgebungprozess integriert, um somit ein optimales Bild zu ermöglichen.

Um dies zu ermöglichen werden Bilder als Funktionen definiert. So wird einem Punkt im n-dimensionalen Bildraum ein gewisser Wert zugeordnet, der beispielsweise dessen Farbe beschreibt. Diese Darstellung ist kontinuierlich, jedoch kann sie auch diskretisiert werden: Im 2-dimensionalen Fall bedeutet dies, dass einem kleiner quadratischer Bereich gewisser Größe, auch Pixel genannt, ein Zahlenwert zugeordnet wird, der das kontinuierliche Bild in diesem Bereich approximiert.

Die Darstellung von Bildern als Funktionen erlaubt es, mit ihnen zu rechnen und mathematische Begriffe wie Abstände und Normen zu definieren. Dies ermöglicht die Formulierung der obigen Beispiele in mathematisch rigoroser Weise, was meist der Aufstellung eines Minimierungsproblems geschieht. Dies ermöglicht die Einbindung von Zusatzwissen an das gewünschte Bild. Sind gewisse charakteristischen Eigenschaften des Bildes gewünscht, so kann eine Lösung gesucht werden, die genau diese Eigenschaften besitzt. Solche Einschränkungen und Bedingungen werden Regularisierungen genannt. Typische Beispiele sind die sogenannten Tikhonov und Total Variation (TV) Regularisierungen. TV wird unter anderem benutzt, wenn Ergebnisse mit stückweise konstanten Bereichen berechnen werden sollen. Dies wird dadurch forciert, dass die zugehörige TV-Seminorm besonders klein wird, wenn ein Bild stückweise konstante Bereiche aufweist.