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Partielle Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen (PDGen) modellieren unzählige Vorgänge, die uns in Physik und Biologie aber auch im alltäglichen Leben begegnen.

Die Verteilung von Milch in unserem heißen Frühstückskaffee wird durch sogenannte Konvektions-Diffusions-Gleichungen beschrieben, die schockartige Ausbreitung von Staufronten im Berufsverkehr durch die Burgersgleichung, aber auch das Verhalten einer Schafherde, die von Hütehunden bewacht wird,lässt sich durch eine PDG beschreiben. Zudem werden sie auch als „Werkzeug“ eingesetzt, um Probleme zu lösen, die auf den ersten Blick keinen physikalischen Gesetzen zu folgen scheinen, so beispielsweise zur Qualitätsverbesserung von Fotografien oder zum Training sogenannter neuronaler Netze.

Die mathematischen Herausforderungen, die im Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen entstehen, sind zahlreich. Zum einen gibt es die eher theoretischen Fragestellungen, ob und unter welchen Bedingungen solche Gleichungen überhaupt Lösungen besitzen und ob diese eindeutig sind. Des Weiteren spielt die Analyse von qualitativen und quantitativen Eigenschaften von Lösungen eine große Rolle: Interessant sind typischerweise deren Regularität oder das Langzeitverhalten.

Neben rein theoretischen Problemen spielt auch die Erforschung neuer Anwendungsbereiche für PDGen eine wichtige Rolle. Dabei gilt es für konkrete Problemstellungen PDGen herzuleiten und numerische Verfahren zu entwerfen, mit deren Hilfe man diese auf einem Computer approximativ lösen kann.

Unser Arbeitsgebiet „Partielle Differentialgleichungen“ beschäftigt sich hauptsächlich mit biologischen Vorgängen, wie beispielsweise Populationsdynamik mehrer Spezies oder der Verformung von Zellmembranen durch Wechselwirkungen mit Proteinen und Flüssigkeiten, sowie mit Anwendungen in Bildbearbeitung und Mustererkennung. Hierbei stehen gleichermaßen die Modellierungen komplexer Vorgänge sowie die mathematische Analyse der resultierenden PDGen im Vordergrund.