Navigation

DE/EN

Forschung

Forschungsinteressen

Regularitätstheorie partieller Differentialgleichungen

Meine Forschung wird motiviert durch die folgende Grundsatzfrage: In welchen Fällen bieten adaptive numerische Algorithmen tatsächlich Vorteile gegenüber nicht-adaptiven (uniformen) Verfahren? Die Konvergenzordnung nicht-adaptiver Verfahren wird im Allgemeinen durch die Regularität der exakten Lösung der zu Grunde liegenden Gleichung in der klassischen Sobolev-Skala bestimmt. Eine theoretische Analyse zeigt nun, dass im Gegensatz dazu die erzielbare Approximationsordnung für adaptive Verfahren durch die Regularität in nichtklassischen Glattheitsräumen, den Besov-Räumen, bestimmt wird. Um also sicherzustellen, dass für ein gegebenes Problem adaptive Verfahren hilfreich sein können, muss die Besov-Regularität der exakten Lösung untersucht werden.

Die Forschungsschwerpunkte sind derzeit:

  • Regularitätstheorie für nichtlineare elliptische Gleichungen
  • Regularitätstheorie für (nichtlineare) parabolische Gleichungen
  • Regularitätstheorie für elliptische Gleichungen auf Mannigfaltigkeiten
  • Regularitätstheorie für hyperbolische Gleichungen

Adaptive Verfahren fuer parabolische Probleme

Das Ziel ist die Übertragung der bereits existierenden adaptiven Strategie für elliptische Probleme auf den Fall parabolischer Gleichungen. Hierzu muss eine geeignete Schrittweitensteuerung in Zeitrichtung entwickelt werden. In jedem Zeitschritt kann dann auf den bereits vorhandenen voll adaptiven elliptischen Löser im Ortsraum zurückgegriffen werden.

Funktionenräume

Im Bereich der Funktionenraeume interessiere ich mich insbesondere fuer (verallgemeinerte) Besov- und Sobolev-Raeume. Typische Probleme die in diesem Kontext auftreten und untersucht werden sind verschiedene Zugaenge und Charakterisierungen der Raeume, ihre Zusammenhaenge und Unterschiede sowie Einbettungen zwischen den verschiedenen Skalen und Spuren.

Schwerpunkte:

  • Besov-, Sobolev- und Triebel-Lizorkin Räume
  • Kondratiev Räume (gewichtete Sobolev-Räume)
  • Glattheits-Morrey-Raeume
  • Funktionenraeume mit variablen Exponenten
  • Charakterisierungen (z.B. ueber Atome, Wavelets, hoehere Differenzen)
  • Einbettungen, Spuren

Projekte

  • Besov Regularität von parabolischen partiellen Differentialgleichungen auf Lipschitz Gebieten
    (Drittmittelfinanzierte Einzelförderung)
    Laufzeit: 01-04-2017 - 31-03-2019
    Mittelgeber: DFG-Einzelförderung / Sachbeihilfe (EIN-SBH)

    Das Vorhaben beschäftigt sich mit der Regularitätstheorie parabolischer partieller Differentialgleichungen (PDEs) auf Lipschitzgebieten. Ziel ist es, die Regularität der Lösungen solcher Gleichungen in bestimmten Skalen von Besov-Räumen zu untersuchen, welche die Approximationsordnung von adaptiven und anderen nichtlinearen Approximationsmethoden bestimmen. Es soll gezeigt werden, dass die Besov-Regularität in den zu untersuchenden Fällen groß genug ist um den Einsatz von adaptiven Verfahren (verglichen mit nicht-adaptiven Verfahren) zu rechtfertigen. Wir beschäftigen uns hierbei hauptsächlich mit Approximationsmethoden basierend auf Wavelets.

    Startpunkt ist die Verbesserung bereits bekannter Resultate für die Wärmeleitungsgleichung, welche wir anschließend erweitern wollen auf lineare parabolische PDEs mit variablen Koeffizienten sowie nichtlineare parabolische PDEs. Es soll außerdem gezeigt werden, dass bei Einschränkung der allgemeinen Lipschitzgebiete auf Polygone und Polyeder eine noch höhere Besov-Regularität erreicht werden kann.
    Da die auf diese Weise erhaltenen Konvergenzraten noch abhängig von der Raumdimension sind, soll in einem weiteren Teil die Regularität der parabolischen PDEs in verallgemeinerten Funktionenräumen mit dominierenden gemischten Glattheitseigenschaften untersucht werden. Indem man nun Tensorwavelets benutzt erhält man auf diese Weise Konvergenzraten, welche unabhängig von der Dimension des zugrundeliegenden Gebietes sind.