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  • Evolutionsgleichungen mit p,q-Wachstum
    (Drittmittelfinanzierte Einzelförderung)
    Laufzeit: 17-10-2013 - 31-12-2018
    Mittelgeber: DFG-Einzelförderung / Sachbeihilfe (EIN-SBH)
    Ziel dieses Projektes ist, ein möglichst umfassendes Verständnis von Evolutionsgleichungen unter nicht Standard-Wachstumsbedingungen (sog. p,q-Wachstum) an die Koeffizienten zu erlangen. Im stationären elliptischen Fall wurde die entsprechende Klasse von Differentialgleichungen / Variationsintegralen mit p,q-Wachstum Ende der 80er Jahre von P. Marcellini entdeckt. Dabei fand er überraschenderweise Beispiele von Minimierern von Variationsintegralen mit Singularitäten. Seit der Einführung durch Marcellini sind derartige Differentialgleichungen / Variationsintegrale von großem Interesse. Fragen nach der Existenz, Regularität und Irregularität von Lösungen bzw. Minimierern spielen in diesem Zusammenhang eine zentrale Rolle. Zum stationären Fall existiert eine breite Literatur mit einer Vielzahl von Resultaten. Im Gegensatz dazu ist der zeitabhängige parabolische Fall nahezu völlig offen. Hier gibt es nur Resultate in einigen wenigen Spezialfällen. Der Grund dafür dürfte die größere Komplexität des parabolischen Falles sein. So war zum Beispiel noch nicht einmal der richtige Lösungsbegriff bekannt. In den zwei Arbeiten [V. Bögelein, F. Duzaar, P. Marcellini, Parabolic equations with p,q-growth. J. Math. Pures Appl. (9), DOI:10.1016/j.matpur.2013.01.012.] und [V. Bögelein, F. Duzaar, P. Marcellini. Parabolic systems with p,q-growth: a variational approach. Arch. Ration. Mech. Anal., DOI:10.1007/s00205-013-0646-4] wurden zwei Lösungskonzepte eingeführt, die jeweils durch einen Existenzsatz abgesichert wurden. Zum einen wurde das Konzept der schwachen Lösung, zum anderen das einer Variationslösung (eines parabolischen Minimierers) eingeführt. Letzterer erweist sich als wesentlich flexibler, da a priori weniger Regularität an die Lösung (und an die Regularität des Integranden) vorausgesetzt werden muss. Die beiden oben erwähnten Arbeiten stellen den Ausgangspunkt einer systematischen Untersuchung parabolischer Probleme mit p,q-Wachstum dar.Im beantragten Projekt soll eine möglichst allgemeine und umfassende Existenz- und Regularitätstheorie für derartige Probleme entwickelt werden. Insbesondere soll ein Existenzbeweis gefunden werden, der nur auf Methoden der Variationsrechnung basiert. Damit würde ein natürlicher Zugang zu parabolischen Variationslösungen etabliert werden.
  • Elliptische und parabolische Hindernis-Probleme mit irregulären Hindernissen
    (Drittmittelfinanzierte Einzelförderung)
    Laufzeit: 01-07-2010 - 30-07-2013
    Mittelgeber: DFG-Einzelförderung / Sachbeihilfe (EIN-SBH)
    Ziel des Projektes ist einerseits die Entwicklung einer Caldcrón & Zygmund-Theorie für Lösungen elliptischer und parabolischer Hindernis-Probleme für partielle Differentialoperatoren in Divergenzform vom p-LapIace Typ, und andererseits die Herleitung punktweiser Potential-Abschätzungen der Lösungen in Termen des Hindernisses. Angestrebt wird der Beweis einer klassischen Calderón & Zygmund-Abschätzung für den räumlichen Gradienten der Lösung in Termen der Integrabilität des Hindernisses. Genauer soll gezeigt werden, dass der Gradient genauso integrierbar ist wie die das Hindernis beschreibende Hindernisfunktion. Dabei werden sehr schwache Regularitätsvoraussetzungen an das definierende Vektorfeld des Differentialoperators gestellt. Des Weiteren sollen auch Hindernisfunktionen betrachtet werden, die nicht notwendigerweise mit der Zeit abfallen. Darüber hinaus sollen Potentialabschätzungen für die Lösung und deren Gradienten in Termen eines nicht-linearen Wolff-Potentials der Hindernisfunktion hergeleitet werden. Hierbei sollen der stationäre sowie der nicht-stationäre Fall betrachtet werden, wobei wir uns im nicht-stationären Fall voraussichtlich auf Differentialoperatoren mit linearem Wachstum beschränken werden.
  • Regularität von Lösungen quasilinearer subelliptischer Gleichungen mit Nichtstandard-Wachstum in der Heisenberg-Gruppe; Die singuläre Menge von Minima konvexer Variationsprobleme höherer Ordnung und Randregularität von Lösungen elliptischer Systeme
    (Drittmittelfinanzierte Einzelförderung)
    Laufzeit: 26-07-2006 - 01-05-2009
    Mittelgeber: DFG-Einzelförderung / Sachbeihilfe (EIN-SBH)
    Für schwache Lösungen subelliptischer Gleichungen in der Heisenberg-Gruppe, deren Koeffizienten einer superlinearen Nichtstandard-Wachstumsbedingung genügen, soll unter natürlichen Restriktionen an das Wachstum der Koeffizienten die lokale Regularität, d.h. die Glattheit der Lösungen, gezeigt werden. Die Einschränkungen werden dabei in Abhängigkeit von der Dimension an das Wachstum der Koeffizienten von oben zu stellen sein (nach unten wird der Einfachheit halber lineares Wachstum der Koeffizienten angenommen). Der erste und wichtigste Schritt wird dabei der Beweis von a priori Abschätzungen sein, welche die Lipschitz-Stetigkeit, d.h. die lokale Beschränktheit, des vollen euklidischen Gradienten der Lösungen garantiert.Für konvexe bzw. quasikonvexe Variationsprobleme höherer Ordnung mit p-Wachstum, p > 2, soll beginnend mit einer partiellen Regularitätstheorie für lokale Minima quasikonvexer Integrale, über das Studium von w-Minima autonomer quasikonvexer Integrale bis hin zur Analyse der singulären Menge von lokalen Minima von konvexen und quasikonvexen Variationsintegralen, eine vollständige Regularitätstheorie entwickelt werden. Schließlich sollen schwache Lösungen des Dirichlet-Problems elliptischer Systeme hinsichtlich ihres Randregularitätsverhaltens analysiert werden.
  • Geometrische Variationsprobleme
    (Drittmittelfinanzierte Gruppenförderung – Teilprojekt)
    Titel des Gesamtprojektes: SFB 288: Differentialgeometrie und Quantenphysik
    Laufzeit: 01-01-1998 - 31-12-2000
    Mittelgeber: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG)