Seminar matrixmonotone Funktionen, Sommersemester 2023

Matrixmonotone Funktionen formen eine besondere Klasse von Funktionen, die durch eine einfache algebraische Eigenschaft definiert wird, aber die erstaunliche Verbindungen zur Analysis zeigt. In diesem Seminar sollen die wesentlichen Begriffe und Beispiele studiert werden, sowie verschiedene Argumenten die zum Verständnis der Klasse dieser Funktionen beitragen. Grundkenntnisse in Analysis und lineare Algebra werden vorausgesetzt.

Zielgruppe und Voraussetzungen:

Das Seminar steht allen Studierenden ab dem 4. Semester offen, die Grundkenntnisse in Analysis und lineare Algebra haben. Das Seminar ist auf Deutsch. Die verwendete Literatur ist englischsprachig.

Teilnahme:

Die Anzahl der Vorträge ist auf ca. 13-14 begrenzt (ein Vortrag pro Woche). Wenn Sie Interesse haben, teilzunehmen, kontaktieren Sie mich bitte vorab per E-Mail unter jacobus.sanders@fau.de, mit Angabe Ihrer Studiengang und Semester.

Vortragsthemen:

Themen für Vorträge orientieren sich nach Kapiteln des Buchs von B. Simon, wobei nicht die Absicht besteht das ganze Buch zu besprechen.

Ausführliche Beschreibung:

Eine reelle Funktion f:(a,b)\to\mathbb{R} ist monoton (steigend) auf ein Interval (a,b) wenn für alle x,y\in (a,b) gilt:

(1)     x\le y\Rightarrow f(x)\le f(y).

Dies ist z.B. der Fall wenn f differenzierbar ist und f'(x)\ge 0 für alle x\in(a,b). In diesem Seminar wollen wir eine analoge Eigenschaft betrachten, wobei die Zahlen x und y durch n\times n-Matrizen ersetzt werden:

(2) A\le B\Rightarrow f(A)\le f(B).

Dabei müssen wir zunächst klären, was A\le B für n\times n-Matrizen heißt und wie man f(A) bestimmt.

Eine Funktion mit der Eigenschaft (2) heißt monoton auf n\times n-Matrizen. Diese Eigenschaft ist mathematisch sehr interessant und hat auch Anwendungen, z.B. in der Quantenmechanik, wo Observablen durch Operatoren auf Hilberträume beschrieben werden. Wenn eine Funktion monoton auf n\times n-Matrizen ist, dann ist sie auch monoton steigend wie in (1). Die Umkehrung gilt aber nicht und es gibt einfache Gegenbeispiele, z.B. f(x)=x^2 auf (0,\infty).

Welche Funktionen sind denn monoton auf n\times n-Matrizen für alle n\in\mathbb{N}? Die Antwort zu dieser Frage ist ein Satz von Loewner aus 1934, der eine Überraschung enthält. Obwohl die Definition von matrixmonotone Funktionen rein algebraisch ist, ist Loewner’s Charakterisierung es nicht. Im Gegenteil, sein Satz handelt von Integrale und sogar komplexe Analysis.

In diesem Seminar wollen wir Definitionen, Beispiele und Argumenten besprechen die zum Verständnis von matrixmonotone Funktionen und Loewner’s Charackterisierung beitragen.

Literatur

B. Simon: „Loewner’s Theorem on Monotone Matrix Funktions“.