Querschnittsmodulseminar Funktionalanalysis

Seminar im Winter 2026/27: Funktionalanalysis (Querschnittsmodulseminar)

Zeit und Ort: Dienstag, 14-16 Uhr, Übung 2

Dieses Seminar baut auf der Vorlesung Funktionalanalysis 1 aus dem Sommersemester 2026 auf. Die TeilnehmerInnen sollen sich weiterführende Aspekte der Funktionalanalysis erarbeiten und in einem Vortrag (inklusive schriftlichem Handout) präsentieren.

Einige mögliche Themengebiete sind unten aufgelistet. Dies sind zumeist Themen, die auch leicht Material für zwei Vorträge bieten. Die Themen haben eine gewisse Bandbreite – manche haben mehr Kontakt zu Analysis, andere zu Topologie, oder zu Hilberträumen, etc. Wenn Sie sich für eines dieser Themen interessieren, lassen Sie es mich bitte per Email wissen. Wenn Sie einen eigenen Vorschlag haben, können wir das auch gerne diskutieren.

• Spurklasseoperatoren und Hilbert-Schmidt-Operatoren
  Dies sind Unterklassen der Klasse von kompakten Operatoren auf einem Hilbertraum. Die Spurklasseoperatoren sind dadurch ausgezeichnet, dass auf ihnen ein endliches Spurfunktional definiert werden kann, dass die Spur einer Matrix verallgemeinert und eine Spur-Norm definiert, bzgl der die Spurklasseoperatoren einen Banachraum bilden. Hilbert-Schmidt-Operatoren bilden einen Hilbertraum von Operatoren mit einem Skalarprodukt, dass auf Basis dieser Spur definiert ist. Viele Integraloperatoren sind Hilbert-Schmidt oder sogar Spurklasse.
• Schatten-Ideale und Approximationszahlen
  Kompakte Operatoren sind „fast endlichdimensionale“ Operatoren in dem Sinne, dass sie durch Operatoren mit endlichem Rang approximiert werden können. Betrachtet man statt der Operatornorm die Spurnorm oder die Hilbert-Schmidt-Norm, so ergeben sich die Spurklasse oder die Hilbert-Schmidt-Klasse als der Normabschluss des Raumes der Operatoren von endlichem Rang in diesen Normen. Allgemeiner kann man eine p-Norm einführen, was auf die sogenannten Schatten-Ideale führt. Eng damit verbunden ist der Begriff der Approximationszahl, die misst, wie gut sich ein Operator durch Operatoren von Rang höchstens n approximieren lääst.
• Einparametergruppen für lineare Evolutionsgleichungen
  Eine lineare Evolutionsgleichung ist eine Gleichung der Form du/dt = A u(t) , wobei u eine differenzierbare Funktion von R (oder R_+) in den Raum der linearen Operatoren auf einem Banachraum ist, die oft von einer Einparametergruppe, dh u(t)u(s)=u(t+s), gelöst wird. In diesem Vortrag soll das Zusammenspiel zwischen Evolutionsgleichungen und Einparametergruppen in einigen wichtigen Szenarien erklärt und mit Beispielen illustriert werden.
• Fockräume
  In der Funktionalanalysis 1 haben wir den Begriff der direkten Summe und des Tensorproduktes von Hilberträumen kennengelernt. Ein Fockraum über einem gegebenen Hilbertraum \mathcal{H} ist eine unendliche direkte Summe von allen Tensorpotenzen \mathcal{H}^{\otimes n}, ggf in einer symmetrisierten oder antisymmetrisierten Version. Auf jedem Fockraum gibt es interessante Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, die in Anwendungen in der Quantenphysik eine zentrale Rolle spielen.
• Hilberträume mit reproduzierendem Kern
  Die L^2-Räume der Maßtheorie sind Hilberträume von Äquivalenzklassen von Funktionen, auf denen die Auswertungsfunktionale \delta_x: f\mapsto f(x) üblicherweise nicht wohldefiniert und erst recht nicht beschränkt sind. Hilberträume mit reproduzierendem Kern sind hingegen per Definition Hilberträume von Funktionen (nicht Äquivalenzklassen von Funktionen) auf einer Menge X, so dass die Auswertungsfunktionale \delta_x stetig sind. Sie sind nach dem Lemma von Riesz also durch Vektoren in diesem Raum gegeben, was dann schnell auf eine spezielle Kernfunktion führt, die diesen Hilbertraum definiert. Wichtige Beispiele von Hilberträumen mit reproduzierendem Kern sind Räume von analytischen Funktionen, es gibt aber auch Beispiele aus Statistik und Machine Learning.
• Vektorwertige Integration und die Laplace-Transformation
  Viele Methoden der Analysis lassen sich von zahlenwertigen zu vektorwertigen Funktionen, dh Funktionen mit Werten in einem Banachraum, verallgemeinern. Ein gutes Beispiel dafür ist das Bochner-Integral, das in diesem Vortrag besprochen werden soll. Als eine Anwendung bietet sich die vektorwertige Laplace-Transformation an, die wichtige Anwendungen zB bei der Lösung von Cauchy-Problemen hat.
• Fredholmoperatoren und Fredholm-Index
  Ein Fredholm-Operator zwischen zwei Banachräumen ist ein linear Operator mit der Eigenschaft, dass sein Kern endliche Dimension und sein Bild endliche Kodimension hat; dies sind einem gewissen Sinne „fast invertierbare“ Operatoren. Jedem Fredholm-Operator kann ein Index, nämlich die Differenz dieser beiden Dimensionen, zugeordnet werden. In diesem Vortrag soll die grundlegende Theorie der Fredholmoperatoren und ihrer Anwendungen diskutiert werden.
• Operator-monotone Funktionen
  Eine monotone Funktion f:(a,b)\to\mathbb{R} heißt operator-monoton, falls sie A\leq B\Rightarrow f(A)\leq f(B) (mit Spektrum von A,B in (a,b) erfüllt. Längst nicht jede monotone Funktion ist operator-monoton. Löwner’s Theorem charakterisiert operator-monotone Funktionen mit Hilfe von Methoden aus der Funktionentheorie.
• Distributionen
  Der Dualraum des lokalkonvexen Vektorraums der Schwartzfunktionen heißt der Raum der temperierten Distributionen. Dies sind lineare stetige Funktionale, die in einem gewissen Sinne Funktionen verallgemeinern, und auf die sich viele Techniken der Analysis (zB Differentiation oder Fouriertransformation) ausdehnen lassen. Sie finden in sehr vielen Gebieten Anwendungen, zB für Differentialgleichungen und Quantenphysik.
• Sobolevräume
  Ein Sobolevraum ist ein Banach- oder Hilbertraum von L^p-Funktionen, die in einem verallgemeinerten (schwachen) Sinne differenzierbar sind bis zu einer vorgegebenen Differentiationsordnung. Die genaue Definition erfolgt mittels der Fouriertransformation, die zum Zwecke dieses Vortrags auch etwas wiederholt werden soll. Sobolevräume treten vor allem beim Studium von partiellen Differentialgleichungen auf.
• Der Satz von Arzelà-Ascoli
  Dieser Satz charakterisiert die kompakten Teilmengen des Banachraums C(X), wobei X ein kompakter metrischer Raum ist. Er hat verschiedene Anwendungen, insbesondere auf kompakte Operatoren.
• Ergodentheorie
  In der Ergodentheorie werden statistische Eigenschaften von dynamischen Systemen (also Systeme mit einer „Zeitentwicklung“, meist in einem maßtheoretischen Rahmen formuliert) untersucht. Eine zentrale Frage ist, ob Mittelungen in der Zeit mit Mitteln über statistische Ensembles (Integration) übereinstimmen. In diesem Vortrag soll ein Zugang zur Ergodentheorie auf Basis von Hilbertraummethoden vorgestellt werden.