Vorlesung Spektraltheorie
Vorlesung Spektraltheorie (+ Übung)
Wintersemester 2021/22
In dieser Vorlesung werden wir lineare Abbildungen (Operatoren) auf unendlichdimensionalen Hilberträumen in einem Zusammenspiel von algebraischen und analytischen Methoden studieren. Eine Hauptmotivation dieser Vorlesung ist, die aus der Linearen Algebra bekannte Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren geeignet zu verallgemeinern und für Anwendungen im Unendlichdimensionalen nutzbar zu machen. (Ein Grund dafür, dass es einer Verallgemeinerung bedarf, ist, dass auf unendlichdimensionalen komplexen Vektorräumen nicht jede lineare Abbildung Eigenwerte hat, im Gegensatz zur endlichdimensionalen Situation.)
Das Spektrum eines Operators behebt dieses Problem und erweist sich als ein zentrales Konzept mit vielen Anwendungen. Das Spektrum eines Operators ist eine Menge von Spektralwerten genannten komplexen Zahlen, die eine Verallgemeinerung von Eigenwerten darstellen. Der Begriff “Spektrum” entstammt der Physik, in der es viele Anwendungen der Spektraltheorie gibt, insbesondere in der Quantenphysik.
Das Spektrum wird uns auch bei der Klassifikation von gewissen Familien von Operatoren und bei der Entwicklung von Funktionalkalkülen (d.h. dem Bilden von Funktionen von Operatoren — was bedeutet e^A oder \sqrt{A}, wenn A eine lineare Abbildung ist?) behilflich sein. In Anwendungen sind die betrachteten Räume oft Funktionenräume wie z.B. L^2({\mathbb R}^n), und typische Operatoren sind Multiplikations- und Differenzialoperatoren.
Diese Beispiele machen es auch nötig, in der Entwicklung der Spektraltheorie über den konzeptionell bequemsten Rahmen von beschränkten (= stetigen) Operatoren hinauszugehen und auch unbeschränkte Operatoren zu betrachten, wie sie insbesondere in Anwendungen in der Quantenphysik (Hamiltonoperator) häufig auftreten.