Lehrveranstaltungen

Aktuelle Lehre

  • In meinem ersten Semester an der FAU (WS 2021/22) biete ich zwei Lehrveranstaltungen an, ein Seminar zur niedrigdimensionalen Topologie und eine Vorlesung zur Spektraltheorie (s.u.).
  • Zum Seminar der Arbeitsgruppe Mathematische Physik und Operatoralgebren geht es hier.
  • Mögliche Themen für Bachelor-, Master- und Doktorarbeiten finden sich hier.

Seminar Niedrigdimensionale Topologie: Zopfgruppen und Knotentheorie

Dieses Seminar befasst sich mit zwei miteinander verwandten Themen der niedrigdi­mensionalen Topologie: Zöpfen und Knoten/ Verschlingungen. Diese erscheinen zu­nächst als geometrische Gebilde, wie sie in diesem Bild links (Zöpfe) bzw. rechts (Verschlingung = Knoten mit mehreren Komponenten) dargestellt sind:

Man stellt sich hier die Stränge/Fäden als beliebig elastisch vor und unterscheidet nicht zwischen Ob­jekten, die durch stetige Deformationen auseinander hervorgehen, so dass jede Grafik ein zugrundeliegendes topologisches Objekt darstellt. Eine zentrale Frage ist, eine ma­thematische Beschreibung von Eigenschaften dieser Objekte zu finden, die ebenfalls unter stetigen Deformationen invariant sind, also Eigenschaften der zugrundeliegen­den topologischen Zöpfe/Knoten reflektieren.

Im Laufe der Vorträge werden Sie viele Aspekte von topologischen Zöpfen und Knoten kennenlernen, die mit diversen anderen Themen in Zusammenhang stehen. Zöpfe bil­den eine Gruppe (siehe Bild oben links für die Idee der Komposition in dieser Gruppe), die sogenannte Zopfgruppe, so dass hier ein Bezug zur Gruppentheorie entsteht. Das Studium der Struktur der Zopfgruppen und ihrer Darstellungen hat Verbindungen zur Algebra und Darstellungstheorie, und die Charakterisierung von Zopfgruppen als Fundamentalgruppen bezieht sich direkt auf die Topologie-­Vorlesung. Bei der Diskus­sion von Knoteninvarianten werden wir aber auch auf kombinatorische Aspekte und Anknüpfungspunkte mit Operatoralgebren stoßen (in diesem Zusammenhang wurde das berühmte Jones-­Polynom ursprünglich entdeckt).

Anwendungen gibt es unter an­derem in der Kryptographie, Biologie (DNA), und der Quantenphysik. Der Fokus des Seminars wird aber auf der Seite der reinen Mathematik liegen.

  • Seminarankündigung mit Liste der Themen und Literatur.
  • Untechnischer Artikel (Oberwolfach Snapshot) als Einführung.
  • Einige Themen bieten die Möglichkeit, eine Bachelorarbeit anzugliedern, insbesondere Vortrag 12 (Die Temperley-Lieb Algebra), 13 (Die Temperley-Lieb Algebra und das Jones-Polynom), und 14 (Erweiterte Yang-Baxter Operatoren und Knoteninvarianten)

Vorlesung Spektraltheorie (+ Übung)

In dieser Vorlesung werden wir lineare Abbildungen (Operatoren) auf unendlichdimensionalen Hilberträumen in einem Zusammenspiel von algebraischen und analytischen Methoden studieren. Eine Hauptmotivation dieser Vorlesung  ist, die aus der Linearen Algebra bekannte Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren geeignet zu verallgemeinern und für Anwendungen im Unendlichdimensionalen nutzbar zu machen. (Ein Grund dafür, dass es einer Verallgemeinerung bedarf, ist, dass auf unendlichdimensionalen komplexen Vektorräumen nicht jede lineare Abbildung Eigenwerte hat, im Gegensatz zur endlichdimensionalen Situation.)

Das Spektrum eines Operators behebt dieses Problem und erweist sich als ein zentrales Konzept mit vielen Anwendungen. Das Spektrum eines Operators ist eine Menge von Spektralwerten genannten komplexen Zahlen, die eine Verallgemeinerung von Eigenwerten darstel­len. Der Begriff “Spektrum” entstammt der Physik, in der es viele Anwendungen der Spektraltheorie gibt, insbesondere in der Quantenphysik.

Das Spektrum wird uns auch bei der Klassifikation von gewissen Familien von Operatoren und bei der Entwicklung von Funktionalkalkülen (d.h. dem Bilden von Funktionen von Operatoren — was bedeutet e^A oder \sqrt{A}, wenn A eine lineare Abbildung ist?) behilflich sein. In Anwendungen sind die betrachteten Räume oft Funktionenräume wie z.B. L^2({\mathbb R}^n), und typische Operatoren sind Multiplikations- und Differenzialoperatoren.

Diese Beispiele machen es auch nötig, in der Entwicklung der Spektraltheorie über den konzeptionell bequemsten Rahmen von beschränkten (= stetigen) Operatoren hinauszugehen und auch unbeschränkte Operatoren zu betrachten, wie sie insbesondere in Anwendungen in der Quantenphysik (Hamiltonoperator) häufig auftreten.

 


Frühere Lehrveranstaltungen (Göttingen, Wien, Leipzig, Cardiff)

  • Linear Algebra II
    Winter 2020, Cardiff University
  • Mathematical Foundations of Quantum Physics
    Winter 2020, Cardiff University
  • The Yang-Baxter equation, operator algebras, and braid group characters
    Lecture Series at Autumn School “Deformations and Rigidity in Algebra, Geometry and Analysis”
    October 2019, Würzburg University
  • Mathematical Foundations of Quantum Physics
    Winter 2019, Cardiff University
  • Foundations of Mathematics I (Algebra)
    Winter 2019, Cardiff University
  • Foundations of Mathematics I (Analysis)
    Winter 2018, Cardiff University
  • Mathematical Foundations of Quantum Physics
    Winter 2018, Cardiff University
  • Mathematical Foundations of Quantum Physics
    Winter 2017, Cardiff University
  • Foundations of Mathematics I (Analysis)
    Winter 2017, Cardiff University
  • Mathematical Foundations of Quantum PhysicsLecture website
    Winter 2016, Cardiff University
  • Strict Deformation Quantization and Noncommutative Quantum Field TheoriesLecture Series at Autumn School “From Poisson Geometry to QFT on Noncommutative Spaces”
    October 2015, University Würzburg
  • Knot Theory
    Winter 2015, Cardiff University
  • Deformations of Operator Algebras and the Construction of Quantum Field Theories
    Lecture Series in the Third Erlangen Fall School on Quantum Geometry
    September 2014, University Erlangen-Nürnberg
  • Quantum Field TheoryAnnouncement
    Summer 2014, Leipzig University
  • The Mathematics of Classical Physics
    Winter term 13/14, Leipzig University
  • Mathematical Methods for Physics II
    Winter term 09/10, Vienna University
  • Quantum Mechanics II (some lecture substitutions)
    Summer term 10, Vienna University
  • Quantum Field Theory (several lecture substitutions)
    Winter term 2008/09, Vienna University
  • Quantum Mechanics II (several lecture substitutions)
    Summer term 08, Vienna University

  • Seminar on Quantum Field Theory, Gravitation, and Elementary Particles (with Hollands, Rudolph, Verch)
    Winter 13/14, Leipzig University
  • Gravitation & Elementary Particles (together with S. Hollands and R. Verch)
    Summer term 2013, Leipzig University
  • Foundations of Quantum Information Theory (together with R. Verch)
    Summer term 2012, Leipzig University
  • Non-commutative geometry and QFT (together with H. Steinacker)
    Summer term 10, Vienna University
  • Quantum field theory on curved spacetimes (co-organized with J. Yngvason)
    Winter term 09/10, Vienna University

  • Vectors and Matrices
    Winter 2015/16, Cardiff University
  • Cosmology
    Winter term 14/15, Leipzig University
  • Classical Mechanics for Teachers
    Winter term 14/15, Leipzig University
  • The Mathematics of Classical Physics
    Winter term 13/14, Leipzig University
  • Advanced Statistical Physics
    Summer 2013, Leipzig University
  • Quantum Mechanics II
    Winter 2012, Leipzig University
  • Classical Electrodynamics
    Sommer 2012, Leipzig University
  • Quantum Mechanics
    Winter 2011/12, Leipzig University
  • Quantum Mechanics II
    Summer 2011, Vienna University
  • Mathematical Methods for Physics II
    Winter 2010/11, Vienna University
  • Local Quantum Physics – Quantum Field Theory
    Winter term 10/11, Vienna University
  • Mathematical Methods for Physics I
    Summer term 10, Vienna University
  • Quantum Mechanics II
    Summer term 10, Vienna University
  • Mathematical Methods of Physics I
    Summer term 09, Vienna University
  • Local Quantum Physics / Quantum Field Theory
    Winter term 08/09, Vienna University
  • Quantum Mechanics I
    Summer term 08, Vienna University
  • Preparatory course for beginners (“zeroth term”)
    Winter term 05/06, Goettingen University
  • Theoretical Physics for Teachers (organisation of exercises and exams)
    Summer term 05, Goettingen University
  • Thermodynamics and statistical mechanics
    Winter term 04/05, Goettingen University
  • Theoretical Physics for Teachers (organisation of exercises and exams)
    Summer term 04, Goettingen University
  • Mathematical Methods of Physics II (organisation of exercises and exams)
    Winter term 03/04, Goettingen University
  • Physics II (organisation of exercises and exams)
    Summer term 03, Goettingen University
  • Mathematical Methods of Physics II (organization of exercises and exams)
    Winter term 02/03, Goettingen University
  • Quantum Mechanics
    Winter term 01/02, Goettingen University
  • Electrodynamics
    Summer term 01, Goettingen University
  • Classical Mechanics
    Winter term 00/01, Goettingen University
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg