Lineare Algebra (Auflage 2013)

Peter Knabner, Wolf Barth: 

Lineare Algebra:

Grundlagen und Anwendungen

Springer Verlag, Berlin 2013, ISBN: 3–642-32185-2

Inhalt:
Ziel der Linearen Algebra ist die Einübung in die Theorie und Anwendung linearer Strukturen. Der heutigen Bedeutung der Linearen Algebra als Werkzeug und Sprache für fast alle Teile der Mathematik entsprechend wurden die Inhalte bewusst breit gefasst und vernetzt: Aspekte der affinen Geometrie (Lehramt), unendlich-dimensionale Vektorräume, Spektralanalyse und lineare Differentialgleichungen (Physik), allgemeine K-Vektorräume sowie algebraische Strukturen (Algebra), die Anfänge der linearen und quadratischen Optimierung (Wirtschaftsmathematik) und die LR-Zerlegung, Pseudoinverse und Singulärwertzerlegung (Numerische Mathematik und Optimierung). Die erarbeitete Theorie und Algorithmik wird durchgängig mit innermathematischen Themen wie auch mit realen Anwendungen verbunden. Eine klare optische Struktur der Inhalte ermöglicht es dem Leser, den Kerntext von weiterführenden Bemerkungen leicht zu unterscheiden und somit das Buch als Lern-, Arbeits- wie auch als Nachschlagewerk zu benutzen.

Inhaltsverzeichnis:

1. Der Zahlenraum R^n und der Begriff des reelen Vektorraums
   1.1 Lineare Gleichungssysteme
   1.2 Vektorrechnung im R^n und der Begriff des R-Vektorraums
   1.3 Lineare Unterräume und das Matrix-Vektor-Produkt
   1.4 Lineare (Un-)Abhängigkeit
   1.5 Das euklidische Skalarprodukt im R^n und Vektorräume mit Skalarprodukt
   1.6 Mathematische Modellierung: Diskrete lineare Probleme und ihre Herkunft
   1.7 Affine Räume I
2.  Matrizen und lineare Abbildungen
   2.1 Lineare Abbildungen
   2.2 Lineare Abbildungen und ihre Matrizendarstellung
   2.3 Matrizenrechnung
   2.4 Lösbare und nichtlösbare lineare Gleichungssysteme
   2.5 Permutationsmatrizen und die LR-Zerlegung einer Matrix
   2.6 Die Determinante
   2.7 Das Vektorprodukt
   2.8 Affine Räume II
3.  Vom R-Vektorraum zum K-Vektorraum: Algebraische Strukturen
   3.1 Gruppen und Körper
   3.2 Vektorräume über allgemeinen Körpern
   3.3 Euklidische und unitäre Vektorräume
   3.4 Der Quotientenraum
   3.5 Der Dualraum
4.  Eigenwerte und Normalformen von Matrizen
   4.1 Basiswechsel und Koordinatentransformation
   4.2 Eigenwerttheorie
   4.3 Unitäre Diagonalisierbarkeit: Die Hauptachsentransformation
   4.4 Blockdiagonalisierung aus der Schur-Normalform
   4.5 Die Jordansche Normalform
   4.6 Die Singulärwertzerlegung
   4.7 Positiv definite Matrizen und quadratische Optimierung
   4.8 Ausblick: Das Ausgleichsproblem und die QR-Zerlegung
5.  Bilinearformen und Quadriken
   5.1 alpha-Bilinearformen
   5.2 Symmetrische Bilinearformen und hermitische Formen
   5.3 Quadriken
   5.4 Alternierende Bilinearformen
6.  Polyeder und lineare Optimierung
   6.1 Elementare konvexe Geometrie
   6.2 Polyeder
   6.3 Beschränkte Polyeder
   6.4 Das Optimierungsproblem
   6.5 Ecken und Basislösungen
   6.6 Das Simplex-Verfahren
   6.7 Optimalitätsbedingungen und Dualität
7.  Lineare Algebra und Analysis
   7.1 Normierte Vektorräume
   7.2 Normierte Algebren
   7.3 Hilbert-Räume
   7.4 Ausblick: Lineare Modelle, nichtlineare Modelle, Linearisierung
8.  Einige Anwendungen der Linearen Algebra
   8.1 Lineare Gleichungssysteme, Ausgleichsprobleme und Eigenwerte unter Datenstörungen
   8.2 Klassische Iterationsverfahren für lineare Gleichungssysteme und Eigenwerte
   8.3 Datenanalyse, -synthese und -kompression
   8.4 Lineare Algebra und Graphentheorie
   8.5 (Invers-)Monotone Matrizen und Input-Output-Analyse
   8.6 Kontinuierliche und diskrete dynamische Systeme

A Logisches Schließen und Mengenlehre

B Zahlenmengen und algebraische Strukturen

C Analysis in normierten Räumen

Literaturverzeichnis

Sachverzeichnis