Lineare Algebra

Peter Knabner, Wolf Barth: 

Lineare Algebra:

Grundlagen und Anwendungen, 2. Auflage

Springer Verlag, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-55599-6

 

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Inhalt:

Die erste Auflage hat als umfassendes Lehr-, Lern- und Referenzbuch der Linearen Algebra viel positive Resonanz hervorgerufen. In dieser zweiten Auflage wurde der Inhalt überarbeitet und erweitert. Ziel des Buchs ist es, die Theorie und Anwendungen linearer Strukturen und die Vernetzung der Inhalte deutlich zu machen. Es wird klar, wie z. B. Aspekte der affinen Geometrie (wichtig fürs Lehramt), Spektralanalyse und lineare Differentialgleichungen (essentiell in der Physik) sowie die Anfänge der linearen und quadratischen Optimierung (Teil der Wirtschaftsmathematik) zusammenhängen.

Die erarbeitete Theorie und Algorithmik wird durchgängig mit innermathematischen Themen verbunden. Die Leserinnen und Leser können auf diese Weise die Verbindungen zwischen den einzelnen Themengebieten erkennen und vertiefen. Darüber hinaus wird auch immer ein Bezug zu realen Anwendungen hergestellt. Eine klare optische Struktur der Inhalte ermöglicht es den Leserinnen und Leser zudem, den Kerntext von weiterführenden Bemerkungen leicht zu unterscheiden.Dieser Band wird durch einen Aufgaben- und Lösungsbuch ergänzt.

 

Inhaltsverzeichnis:

1. Der Zahlenraum R^n und der Begriff des reelen Vektorraums
   1.1 Lineare Gleichungssysteme
   1.2 Vektorrechnung im R^n und der Begriff des R-Vektorraums
   1.3 Lineare Unterräume und das Matrix-Vektor-Produkt
   1.4 Lineare (Un-)Abhängigkeit und Dimension
   1.5 Das euklidische Skalarprodukt im R^n und Vektorräume mit Skalarprodukt
   1.6 Mathematische Modellierung: Diskrete lineare Probleme und ihre Herkunft
   1.7 Affine Räume I
2.  Matrizen und lineare Abbildungen
   2.1 Lineare Abbildungen
   2.2 Lineare Abbildungen und ihre Matrizendarstellung
   2.3 Matrizenrechnung
   2.4 Lösbare und nichtlösbare lineare Gleichungssysteme
   2.5 Permutationsmatrizen und die LR-Zerlegung einer Matrix
   2.6 Die Determinante
   2.7 Das Vektorprodukt
   2.8 Affine Räume II
3. Vom R-Vektorraum zum K-Vektorraum: Algebraische Strukturen
   3.1 Gruppen und Körper
   3.2 Vektorräume über allgemeinen Körpern
   3.3 Euklidische und unitäre Vektorräume
   3.4 Der Quotientenvektorraum
   3.5 Der Dualraum
4.  Eigenwerte und Normalformen von Matrizen
   4.1 Basiswechsel und Koordinatentransformationen
   4.2 Eigenwerttheorie
   4.3 Unitäre Diagonalisierbarkeit: Die Hauptachsentransformation
   4.4 Blockdiagonalisierung aus der Schur-Normalform
   4.5 Die Jordansche Normalform
   4.6 Die Singulärwertzerlegung
   4.7 Positiv definite Matrizen und quadratische Optimierung
   4.8 Ausblick: Das Ausgleichsproblem und die QR-Zerlegung
5. Bilinearformen und Quadriken
   5.1 alpha-Bilinearformen
   5.2 Symmetrische Bilinearformen und hermitische Formen
   5.3 Quadriken
   5.4 Alternierende Bilinearformen
6. Polyeder und lineare Optimierung
   6.1 Elementare konvexe Geometrie
   6.2 Polyeder
   6.3 Beschränkte Polyeder
   6.4 Das Optimierungsproblem
   6.5 Ecken und Basislösungen
   6.6 Das Simplex-Verfahren
   6.7 Optimalitätsbedingungen und Dualität
7. Lineare Algebra und Analysis
   7.1 Normierte Vektorräume
   7.2 Normierte Algebren
   7.3 Hilbert-Räume
   7.4 Ausblick: Lineare Modelle, nichtlineare Modelle, Linearisierung
8. Einige Anwendungen der Linearen Algebra
   8.1 Lineare Gleichungssysteme, Ausgleichsprobleme und Eigenwerte unter Datenstörungen
   8.2 Klassische Iterationsverfahren für lineare Gleichungssysteme und Eigenwerte
   8.3 Datenanalyse, -synthese und -kompression
   8.4 Lineare Algebra und Graphentheorie
   8.5 (Invers-)Monotone Matrizen und Input-Output-Analyse
   8.6 Kontinuierliche und diskrete dynamische Systeme

A Logisches Schließen und Mengenlehre

B Zahlenmengen und algebraische Strukturen

C Analysis in normierten Räumen

Literaturverzeichnis

Sachverzeichnis

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