Christof Eck, Peter Knabner
Mathematische Modellierung
Springer Verlag, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-54334-4
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Dieses Lehrbuch bietet eine lebendige und anschauliche Einführung in die mathematische Modellierung von Phänomenen aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Die Leserin und der Leser lernen mathematische Modelle zu verstehen und selbst herzuleiten und finden gleichzeitig eine Fülle von wichtigen Beispielen für die im Mathematikstudium behandelten abstrakten Konzepte.
Es werden Methoden aus der Linearen Algebra, der Analysis und der Theorie der gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen benutzt bzw. sorgfältig eingeführt. Anwendungsbeispiele aus den Bereichen elektrische Netzwerke, chemische Reaktionskinetik, Populationsdynamik, Strömungsdynamik, Elastizitätstheorie und Kristallwachstum werden ausführlich behandelt. Der Stoffumfang des Buches eignet sich für bis zu zwei vierstündige Vorlesungen für Studierende der Mathematik und der Ingenieur- oder Naturwissenschaften ab dem vierten Semester.
1. Einführung
1.1 Was ist Modellierung?
1.2 Aspekte der Modellierung am Beispiel der Populationsdynamik
1.3 Populationsmodell mit beschränkten Ressourcen
1.4 Dimensionsanalyse und Skalierung
1.5 Asymptotische Entwicklung
1.6 Anwendungen aus der Strömungsmechanik
1.7 Literaturhinweise
1.8 Aufgaben
2 Lineare Gleichungssysteme
2.1 Elektrische Netzwerke
2.2 Stabwerke
2.3 Optimierung mit Nebenbedingungen
2.4 Literaturhinweise
2.5 Aufgaben
3. Grundzüge der Thermodynamik
3.1 Das Modell eines idealen Gases, die Maxwell–Boltzmann–Verteilung
3.2 Thermodynamische Systeme, das thermodynamischeGleichgewicht
3.3 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik
3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie
3.5 Thermodynamische Potentiale
3.6 Die Legendre–Transformation
3.7 Der Kalkül der Differentialformen
3.8 Thermodynamik bei Mischungen, das chemische Potential
3.9 Chemische Reaktionen in Mehrspeziessystemen
3.10 Gleichgewichtspunkte chemischer Reaktionen
3.11 Kinetische Reaktionen
3.12 Literaturhinweise
3.13 Aufgaben
4. Gewöhnliche Differentialgleichungen
4.1 Eindimensionale Schwingungen
4.2 Lagrangesche und Hamiltonsche Formulierung der Mechanik
4.3 Beispiele aus der Populationsdynamik
4.4 Qualitative Analysis, Phasenportraits
4.5 Prinzip der linearisierten Stabilität
4.6 Stabilität linearer Systeme
4.7 Variationsprobleme für Funktionen einer Variablen
4.8 Optimale Steuerung gewöhnlicher Differentialgleichunge
4.9 Literaturhinweise
4.10 Aufgaben
5. Kontinuumsmechanik
5.1 Einleitung
5.2 Teilchenmechanik
5.3 Von der Teilchenmechanik zum kontinuierlichen Medium
5.4 Kinematik
5.5 Erhaltungssätze
5.6 Konstitutive Gesetze
5.7 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in derKontinuumsmechanik
5.8 Beobachterunabhängigkeit
5.9 Konstitutive Theorie für viskose Flüssigkeiten
5.10 Modellierung elastischer Feststoffe
5.11 Elektromagnetismus
5.12 Dispersion
5.13 Literaturhinweise
5.14 Aufgaben
6 Partielle Differentialgleichungen
6.1 Elliptische Gleichungen
6.2 Parabolische Gleichungen
6.3 Hyperbolische Erhaltungsgleichungen
6.4 Die Wellengleichung
6.5 Die Navier–Stokes–Gleichungen
6.6 Grenzschichten
6.7 Literaturhinweise
6.8 Aufgaben
7 Probleme mit freiem Rand
7.1 Hindernisprobleme und Kontaktprobleme
7.2 Freie Ränder in porösen Medien
7.3 Das Stefan–Problem
7.4 Entropieungleichung f ̈ur das Stefan–Problem
7.5 Unterkühlte Flüssigkeiten
7.6 Gibbs–Thomson–Effekt
7.8 A priori Abschätzungen für das Stefan–Problem
7.9 Die Phasenfeldgleichungen
7.10 Freie Oberflächen in der Strömungsmechanik
7.11 Dünne Filme und Lubrikationsapproximation
7.12 Literaturhinweise
7.13 Aufgaben
A Funktionenräume
B Krümmung von Hyperflächen
Literaturverzeichnis
Sachverzeichnis
