Numerik partieller Differentialgleichungen

 

Peter Knabner, Lutz Angermann: 

Numerik partieller Differentialgleichungen

Eine anwendungsorientierte Einführung. (Springer-Lehrbuch) Springer-Verlag, Berlin 2000, ISBN: 3-540-66231-6

 

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Inhalt:
Dieses Lehrbuch bietet eine Einführung in Diskretisierungsmethoden für partielle Differentialgleichungen. Im Mittelpunkt steht das Finite-Element-Verfahren, aber es werden auch Finite-Differenzen- und Finite-Volumen-Verfahren behandelt. Basierend auf einer mathematisch präzisen Darstellung von Verfahren und ihrer Theorie spannt der Text den Rahmen bis hin zur Finite-Element-Implementierung. Dies beinhaltet eine Einführung in moderne Entwicklungen wie Multilevel- oder adaptive Verfahren. Das Spektrum der behandelten Differentialgleichungen reicht von linearen elliptischen Randwertaufgaben bis zu – auch konvektionsdominierten – nichtlinearen parabolischen Problemen. Diese werden jeweils durch Modelle aus einem spezifischen Anwendungsgebiet illustriert. Das Lehrbuch entspricht im Umfang etwa einer einsemestrigen Veranstaltung mit Ergänzungen und wendet sich an Studierende der Mathematik oder der Ingenieur- oder Naturwissenschaften nach dem Vordiplom.

Inhaltsverzeichnis:


0. Zum Beispiel: Differentialgleichungsmodelle für Prozesse in porösen Medien
0.1 Transport- und Reaktionsprozesse in porösen Medien
0.2 Fluidtransport in porösen Medien
0.3 Reaktiver Lösungstransport in porösen Medien
0.4 Randwert- und Anfangs-Randwert-Aufgaben
Übungen

  1. Zu Beginn: Die Finite-Differenzen-Methode für die Poisson-Gleichung
    1.1 Das Dirichlet-Problem für die Poisson-Gleichung
    1.2 Die Finite-Differenzen-Methode
    1.3 Verallgemeinerung und Grenzen der Finite-Differenzen-Methode
    1.4 Maximumprinzipien und Stabilität
    Übungen
  2. Die Finite-Element-Methode am Beispiel der Poisson-Gleichung
    2.1 Variationsformulierung für das Modellproblem
    2.2 Die Finite-Element-Methode am Beispiel der linearen Elemente
    2.3 Stabilität und Konvergenz der Finite-Element-Methode
    2.4 Die Implementierung der Finite-Element-Methode – 1. Teil
    2.4.1 Präprozessor
    2.4.2 Assemblierung
    2.4.3 Einbringen der Dirichlet-Randbedingungen – 1. Teil
    2.5 Lösen dünnbesetzter linearer Gleichungssysteme mit direkten Verfahren
    Übungen
  3. Die Finite-Element-Methode für lineare elliptische Randwertaufgaben 2. Ordnung
    3.1 Variationsgleichungen und Sobolevräume
    3.2 Elliptische Randwertaufgaben 2. Ordnung
    3.2.1 Variationelle Formulierung von Spezialfällen
    3.2.2 Ein Beispiel für eine Randwertaufgabe 4. Ordnung
    3.2.3 Regularität von Randwertaufgaben
    3.3 Elementtypen und affin-äquivalente Triangulierungen
    3.4 Konvergenzordnungsabschätzungen
    3.4.1 Energienorm-Abschätzungen
    3.4.2 Die Maximalwinkelbedingung bei Dreiecken
    3.4.3 L2-Abschätzungen
    3.5 Die Implementierung der Finite-Element-Methode – 2. Teil
    3.5.1 Einbringen von Dirichlet-Randbedingungen – 2. Teil
    3.5.2 Numerische Quadratur
    3.6 Konvergenzordnungsaussagen bei Quadratur und Interpolation
    3.7 Die Kondition von Finite-Element-Matrizen
    3.8 Allgemeine Gebiete und isoparametrische Elemente
    3.9 Das Maximumprinzip für Finite-Element-Methoden
    Übungen
  4.  Gittergenerierung und a posteriori-Fehlerabschätzungen
    4.1 Gittergenerierung
    4.1.1 Klassen von Gittern
    4.1.2 Erzeugung simplizialer Gitter
    4.1.3 Erzeugung quadrilateraler und hexaedraler Gitter
    4.1.4 Gitteroptimierung
    4.1.5 Gitterverfeinerung
    4.2 A posteriori-Fehlerabschätzungen und Gitteradaption
    Übungen
  5. Iterationsverfahren für lineare Gleichungssysteme
    5.1 Linear stationäre Iterationsverfahren
    5.1.1 Allgemeine Theorie
    5.1.2 Klassische Verfahren
    5.1.3 Relaxation
    5.1.4 SOR- und Block-Iterations-Verfahren
    5.1.5 Extrapolationsverfahren
    5.2 Gradientenverfahren und Methode der konjugierten Gradienten
    5.3 Vorkonditionierte CG-Verfahren
    5.4 Krylov-Unterraum-Methoden für nichtsymmetrische Gleichungssysteme
    5.5 Mehrgitterverfahren
    5.5.1 Idee des Mehrgitterverfahrens
    5.5.2 Mehrgitterverfahren und Finite-Element-Methoden
    5.5.3 Aufwand und Konvergenzverhalten
    5.6 Geschachtelte Iterationen
    Übungen
  6. Die Finite-Element-Methode für parabolische Anfangs-Randwert-Aufgaben
    6.1 Problembeschreibung und Lösungsbegriff
    6.2 Semidiskretisierung mittels vertikaler Linienmethode
    6.3 Volldiskrete Schemata
    6.4 Stabilität
    Übungen
  7. Iterationsverfahren für nichtlineare Gleichungssysteme
    7.1 Fixpunktiteration
    7.2 Das Newtonverfahren und Varianten
    7.2.1 Die Grundform des Newtonverfahrens
    7.2.2 Modifikationen des Newtonverfahrens
    7.3 Semilineare Randwertaufgaben für elliptische und parabolische Gleichungen
    Übungen
  8. Die Finite-Volumen-Methode
    8.1 Die Grundidee der Finite-Volumen-Methode
    8.2 Die Finite-Volumen-Methode für lineare elliptische Differentialgleichungen 2. Ordnung auf Dreiecksgittern
    8.2.1 Gebräuchliche Kontrollvolumina
    8.2.2 Finite-Volumen-Diskretisierung
    8.2.3 Vergleich mit der Finite-Element-Methode
    8.2.4 Eigenschaften der Diskretisierung
    Übungen
  9. Diskretisierungsverfahren für konvektionsdominierte Probleme
    9.1 Die Stromliniendiffusionsmethode
    9.2 Finite-Volumen-Methoden
    9.3 Lagrange-Galerkin-Verfahren
    Übungen

A. Anhänge
A.1 Bezeichnungen
A.2 Einige Grundbegriffe der Analysis
A.3 Einige Grundbegriffe der linearen Algebra
A.4 Einige Definitionen und Schlussweisen der linearen Funktionalanalysis
A.5 Funktionenräume

Literaturverzeichnis

Errata (pdf)