🎓 Themen für Abschlussarbeiten

Abschlussarbeiten

Wenn Sie Interesse an einem Thema aus der Funktionalanalysis, der Mathematischen Quantenphysik, Operatoralgebren oder Zopfgruppen haben, sind Sie in unserer Gruppe richtig für Ihre Bachelor- oder Masterarbeit.  Bitte kontaktieren Sie mich in diesem Fall, um eine Betreuung zu besprechen. Einen Überblick über laufende und abgeschlossene Arbeiten gibt es hier.

Hier finden Sie einige mögliche Themen für Bachelor- oder Masterarbeiten:

MSc-Projekt „U*-Algebren“ (ab Herbst 2022, betreut von Prof. Ko Sanders):

Im Herbst 2022 wird Ko Sanders für ein Jahr an die FAU kommen. Er sucht für diesen Zeitraum noch interessierte Studierende, die an dem Master-Projekt U*-Algebren arbeiten möchten. Mehr Informationen zu dem Projekt gibt es hier.

 

Funktionalanalysis und Operatoralgebren

Crossing-symmetrische gezopfte Twists und Gruppendarstellungen

In der Arbeit [CL22] werden getwistete Araki-Woods Faktoren als Modelle von Observablenalgebren in der Quantenfeldtheorie auf der Basis eines Standard-Unterraums (kodiert ein Lokalisierungsgebiet) und eines Twist-Operators T (kodiert eine Zweiteilchen-Wechselwirkung) studiert. Um die richtigen Eigenschaften des Vakuumvektors zu erhalten, muss T zwei Eigenschaften haben: Zum einen muss T die Yang-Baxter-Gleichung erfüllen, und zum anderen bzgl der modularen Gruppe eines Standard-Unterraums H crossing-symmetrisch sein. Dies ist eine Bedingung, die eine analytische Fortsetzung einer Korrelationsfunktion in ein komplexes Gebiet und eine Randbedingung involviert.

 

Viele Beispiele von Standard-Unterräumen kommen von Gruppendarstellungen, zB von Darstellungen positiver Energie der Poincaré-Gruppe für Minkowski-Raum QFT, oder von Darstellungen der Möbiusgruppe für chirale konforme QFT.

 

In diesem Projekt soll es darum gehen, crossing-symmetrische gezopfte Twists für wichtige unitäre irreduzible Darstellungen zu bestimmen bzw zu klassifizieren. Dies entspricht einer Klassifizierung von Zweilteilchenwechselwirkungen mit vorgegebener Symmetrie, und erfordert ein Zusammenspiel von Methoden aus Funktionalanalysis, Funktionentheorie, und etwas Darstellungstheorie.

 

Singuläre halbseitig-modulare Inklusionen und nicht-lokale konforme Quantenfeldtheorie (MSc)

Chirale konforme Quantenfeldtheorien auf einem Lichtstrahl können aus einem sogenannten eindimensionalen Borchers-Tripel konstruiert werden. Dieses Tripel besteht aus 1) einer von-Neumann-Algebra M, 2) einer unitären Einparametergruppe U(x), x\in{\mathbb R}, mit positivem Generator, und 3) aus einem Einheitsvektor \Omega im Hilbertraum, der für M zyklisch und separierend ist und unter U(x) invariant ist. Weiterhin wird gefordert, dass U(x)MU(x)^{-1}\subset M für x>0.

Die physikalische Bedeutung dieser Objekte ist, dass die selbstadjungierten Elemente von M die auf dem Halbstrahl {\mathbb R}_+ messbaren Observablen (Quantenfelder) sind, \Omega der Vakuumvektor, und U(x) die Translationen auf dem Lichtstrahl (also Generator = Impuls).

Für die Konstruktion einer vollen QFT aus diesen Daten geht man zu den relativen Kommutanten A_x := M\cap U(x)M'U(x)^{-1} über, die Quantenfelder im Intervall (0,x) beschreiben. Es ist nun entscheidend zu verstehen, ob diese relative Kommutanten „groß“ sind (präzisiert z.B. durch \Omega zyklisch für A_x, oder durch A_x Typ III) oder nicht — im Extremfall A_x={\mathbb C}1.

In diesem Projekt soll der Einfluss einer gewissen Deformationsprozedur („warped convolution“ [1]) auf Borchers-Tripel untersucht werden. Die warped convolution hat ihre Ursprünge in der C^*-algebraischen Formulierung von Quantisierung, ist aber an die in der QFT typischen Lokalisierungs-, Spektral- und Kovarianzeigenschaften angepasst – ausgehend von einem Borchers-Tripel {\mathcal B}=(M,U,\Omega) produziert warping ein weiteres Borchers-Tripel {\mathcal B}_\kappa=(M_\kappa,U,\Omega), dass von einem Deformationsparameter \kappa\in\mathbb R abhängt, der Einfluss auf die Wechselwirkung der zugehörigen QFT hat (Streuung).

Insbesondere soll untersucht werden, ob warping Borchers-Tripel mit großer relativer Kommutante stets in Borchers-Tripel mit trivialer relativer Kommutante deformiert. In einem Beispiel mit wechselwirkungsfreien Feldern ist dies bereits bekannt [2], aber nun soll der allgemeine Fall untersucht werden, der andere Techniken erfordern wird.

Dieses Projekt eignet sich für Studierende, die Interesse an Operatoralgebren und mathematischer Physik haben und direkt an Fragen aktueller Forschung arbeiten möchten. Vorkenntnisse in Operatoralgebren und Spektraltheorie sind erforderlich, idealerweise auch ein Grundverständnis von Distributionen. Speziellere Techniken wie z.B. Tomita-Takesaki Modulartheorie können während des Projekts erlernt werden.

[1] D. Buchholz, G. Lechner, S. Summers: Warped Convolutions, Rieffel Deformations and the Construction of Quantum Field Theories, Communications in Mathematical Physics 304 (2011), S. 95-123

[2] G. Lechner, C. Scotford: Deformations of half-sided modular inclusions and non-local chiral field theories, Communications in Mathematical Physics 391 (2022), S. 269-291

Modulartheorie für Matrix-Algebren / Typ I Faktoren

Die Tomita-Takesaki Modulartheorie ist sowohl für die Strukturtheorie von Operatoralgebren als auch ihre Anwendungen in der mathematischen Physik von zentraler Bedeutung. Das Ziel dieses Projektes ist es, diese Theorie in einem handhabbaren Rahmen kennenzulernen und Sätze wie z.B. den Satz von Tomita in speziellen Situationen selbstständig zu beweisen.

Genauer soll Modulartheorie für endlichdimensionale von Neumann-Algebren (das sind direkte Summen von Matrixalgebren, im einfachsten Fall die Algebra M_n aller komplexen (n\times n)-Matrizen) studiert werden. Dabei geht es darum, die aus der isometrischen Abbildung A\mapsto A^* abgeleiteten nicht isometrischen Abbildungen Av\mapsto A^*v zu studieren, wobei v ein Vektor ist. Dies führt per Polarzerlegung auf die modulare Gruppe und die modulare Involution und nebenbei zu Begriffen (Dichtematrix, reiner Zustand, Gemisch), die in der Quanteninformationstheorie wichtig sind.

Es ist keine spezielle Vorbildung in Operatoralgebren erforderlich, Lineare Algebra (Matrix-Algebren, Spuren, Darstellungen von Algebren, Spektrum einer Matrix) genügt. Bei vorhandenen Vorkenntnissen in Funktionalanalysis können auch normale Zustände auf Typ I Faktoren (die unendlichdimensionale C^*-Algebra {\mathcal B}({\mathcal H})) behandelt werden.

Reelle Standard-Unterräume

Ein abgeschlossener reell linearer Unterraum H eines komplexen Hilbertraumes {\mathcal H} heißt Standard-Unterraum, wenn H+iH dicht ist und H\cap iH=\{0\}. Standard-Unterräume sind die grundlegenden Objekte der Modulartheorie. Sie spielen auch in der mathematischen Formulierung der Quantenfeldtheorie eine zentrale Rolle, wo sie Lokalisierungseigenschaften von Elementarteilchen charakterisieren. Hier können Sie in interessanten Fällen durch die Cauchy-Daten einer zugrundeliegenden partiellen Differenzialgleichung (Klein-Gordon-Gleichung) formuliert werden, was zu einer Relation des reellen Standard-Unterraums H zu zwei komplexen Unterräumen {\mathcal K}_\pm\subset{\mathcal H} führt. In einer Abschlussarbeit zu diesem Thema soll diese „Doppelstruktur“ mit einer anderen Doppelstruktur von H verglichen werden, die von geeigneten antiunitären Involutionen auf {\mathcal H} stammt.

Quantenmechanik und Fourier-Analysis

Themen aus dieser Gruppe bauen zum Teil auf dem Seminar zur Fourier-Analysis auf.

Backflow und Wiedereintritt

Unter „backflow“ versteht man das Phänomen, dass eine Wellenfunktion \psi\in L^2(\mathbb{R}) mit rein positivem Impuls, d.h. \text{supp}\tilde\psi\subset\mathbb{R}_+ (hier ist \tilde\psi die Fouriertransformierte von \psi), eine negative Wahrscheinlichkeitsstromdichte j_{\psi_t}(x)<0 haben kann – dies entspricht einem Teilchen, dass sich von links nach rechts bewegt, so dass die Wahrscheinlichkeit, es rechts von einem Referenzpunkt x=0 zu finden, mit der Zeit abnimmt. Dieses paradoxe Phänomen tritt in der klassischen Physik nicht auf, aber in der Quantenphysik durchaus. Die Größe dieses Effekts ist allerdings durch eine (bisher nur numerisch bekannte) universelle Konstante beschränkt.

In diesem Projekt soll eine ähnliche, möglicherweise verwandte Problematik studiert werden: Gegeben eine Wellenfunktion, die zur Zeit t=0 im Ortsraum „links“ lokalisiert ist, d.h. \text{supp}\psi\subset\mathbb{R}_-, kann die Wahrscheinlichkeitsstromdichte für gewisse t>0,x>0 negativ sein? Hier ist die Trägereigenschaft also von \psi selbst und nicht von der Fouriertransformierten \tilde\psi gefordert. Physikalisch gesehen behandelt diese Frage ein Wiedereintrittsproblem: Bewegt sich ein Teilchen kräftefrei aus dem Bereich \mathbb{R}_- heraus, kann es zu späteren Zeiten „umkehren“? Klassisch ist dies nicht möglich.

Mit Methoden aus Analysis, Fourier-Analysis, Funktionalanalysis soll diese Frage untersucht und quantifiziert werden.

Literatur

Diskrete Fourier-Transformation und Shor-Algorithmus

Viele aktuelle Kryptographieverfahren beruhen darauf, dass es schwierig (sehr rechenaufwändig) ist, Primfaktorzerlegungen von großen natürlichen Zahlen zu finden: Es ist kein klassischer Algorithmus bekannt, der einen nichttrivialen Teiler einer natürlichen Zahl mit n Dezimalstellen in polynomiell (in n) vielen Rechenschritten findet. Anders sieht es aus, wenn man auch „Quantenalgorithmen“ (für den Einsatz auf einem Quantencomputer entworfene Algorithmen) berücksichtigt: Der Shor-Algorithmus findet einen nichttrivialen Teiler in Zeit O(n^3) mit Erfolgswahrscheinlichkeit 1-\varepsilon.

In diesem Projekt geht es darum, den Shor-Algorithmus zu verstehen, der auf der diskreten Fouriertransformation beruht. Andere wesentliche mathematische Werkzeuge sind Lineare Algebra (inklusive Tensorprodukte) und elementare Gruppentheorie.

Literatur

Zopfgruppen und Knotentheorie

Themen aus dieser Gruppe bauen zum Teil auf dem Seminar zum Querschnittsmodul Topologie auf, siehe auch diesen untechnischen Artikel für eine erste Orientierung.

(Erweiterte) Yang-Baxter-Operatoren

Für einen endlichdimensionalen Vektorraum V ist ein Yang-Baxter Operator eine invertierbare lineare Abbildung R:V\otimes V\to V\otimes V, die die Yang-Baxter-Gleichung löst. Ein erweiterter Yang-Baxter Operator besteht aus einem Yang-Baxter-Operator R und einer linearen Abbildung M:V\to V, die [R,M\otimes M]=0 und \text{tr}_1(R^{\pm1}\cdot M\otimes M)=\alpha M erfüllt, wobei \text{tr}_1 die partielle Spur bezeichnet und \alpha ein fester Parameter ist.

Erweiterte Yang-Baxter Operatoren definieren Knoteninvarianten über die durch R gegebenen Darstellungen der Zopfgruppen. In diesem Projekt soll es darum gehen, für \dim V=2 alle erweiterten Yang-Baxter Operatoren zu klassifizieren und die sich ergebenden Knoteninvarianten zu analysieren. Dafür benötigt man vor allem Methoden der Linearen Algebra, insbesondere Jordan-Normalform, Tensorprodukte, (partielle) Spuren.

Literatur

  • Turaev, V., The Yang-Baxter equation and invariants of links, Invent. Math. 92(3), 1988, 527–553
  • Kussin, D., Knoten, Vorlesungsskript 2007