Projekte

Projekte

  • Indextheorie angewandt auf quantenmechanische und klassische Systeme

    (Drittmittelfinanzierte Einzelförderung)

    Laufzeit: 01-04-2020 - 31-03-2023
    Mittelgeber: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG)
  • Theoretische Grenzen und algorithmische Verfahren verteilter komprimierender Abtastung

    (Drittmittelfinanzierte Einzelförderung)

    Laufzeit: 01-01-2019 - 30-06-2020
    Mittelgeber: DFG-Einzelförderung / Sachbeihilfe (EIN-SBH)
    The theoretical limits of distributed compressive sensing are studied bytools from both information theory and statistical physics. The investigationscover both noise-free and noisy distributed compressive sensing. The theoretical insightsare utilized to design approximate message passing algorithms for joint recovery of large distributed compressive sensing networks with feasible computational complexity. These algo-rithms enable us to verify the non-rigorous results obtained by the replica method from statistical mechanics, and also, to propose theoretically optimal approaches for sampling and low complexity. The proposed research will lead to improved performance of reconstruction algorithms for distributed compressive sensing, e.g. higher compression rates and/or higher fidelity of reconstruction.
  • Analyse und Implementierung von Hochkomprimierender Abtastung

    (Drittmittelfinanzierte Einzelförderung)

    Laufzeit: 01-03-2016 - 28-02-2019
    Mittelgeber: DFG-Einzelförderung / Sachbeihilfe (EIN-SBH)
    Das Projekt wird die Leistungsgrenzen von komprimierender Abtastung untersuchen und praxistaugliche Algorithmen entwerfen, die diesen Leistungsgrenzen nahe kommen.Das Projekt zielt auf hohe Kompressionsraten, bei dem Regularisierung des Problems mit Hilfe der L1-Norm suboptimal ist.Komprimierende Abtastung wird aus der Sicht der statistischen Physik untersucht und hierin als der Sonderfall eines Spinglassystems behandelt werden.Sowohl die mittlere als auch die Minimaxverzerrung wird als Zielfunktion (Hamiltonfunktion) betrachtet werden.Die Analyse wird sich auf die Replikamethode stützen. Besonders Augenmerk gilt den Auswirkungen der Replikasymmetriebrechung.Insbesondere zielt das Projekt darauf ab1. ein System von Sattelpunktgleichungen zu finden, das die replikasymmetriebrechende Lösung des komprimierenden Abtastproblem s beschreibt,2. dieses System von Sattelpunktgleichungen numerisch zu lösen,3. einseitige Schranken für diese Lösungen rigoros zu beweisen, indem Guerras Argumente für das Sherrington-Kirkpatrick-Spinglassmodel an den vorliegenden Fall angepasst, und damit die Anwendung Replikamethode auf komprimierende Abtastung legimitiert wird,4. herauszufinden, welche Algorithmen in der Praxis für Abtastung mit hohen Kompressionsraten geeignet sind. 
  • Indextheorie angewandt auf quantenmechanische und klassische Systeme

    (Drittmittelfinanzierte Einzelförderung)

    Laufzeit: 01-01-2016 - 01-10-2019
    Mittelgeber: DFG-Einzelförderung / Sachbeihilfe (EIN-SBH)
    The first goal of index theory is to relate topological invariants to indices of Fredholm operators. The most famous result in this direction is the Atiyah-Singer index theorem, but there exist far reaching non-commutative generalizations. While there is a general theory, such index theorems have to be established case by case in applications. The second goal of index theory is to connect invariants and indices of problems related via exact sequences. For example, this allows to read off the topology of boundary states or point defects from bulk invariants. The proposal aims to implement this program in situations which have not been tackled before like interacting spin systems, photonic crystals and lattices of classical springs, and also to further develop the index approach to scattering systems and topological materials.
  • Dynamik, Spektralanalyse und Streutheorie für zeitumkehrinvariante Systeme

    (Drittmittelfinanzierte Einzelförderung)

    Laufzeit: 01-06-2010 - 31-03-2016
    Mittelgeber: DFG-Einzelförderung / Sachbeihilfe (EIN-SBH)

    Das Forschungsvorhaben kann in zwei Problembereiche unterteilt werden:I Untersuchung der Topologie, der Dynamik und der Spektren von ungeordneten zeitumkehrinvarianten Systemen mit ungeradem Spin II Topologische und spektrale Aspekte der Streutheorie in Medien mit einem periodischen Hintergrundpotential oder an HyperflächenDas Hauptziel im Problembereich I ist eine detaillierte mathematische Analysis von Spin- Randströmen, die zum Beispiel in Graphenschichten auftreten und in Zukunft so genannte Spintronics ermöglichen könnten. Es handelt sich dabei um delokalisierte Randzustände, die durch eine topologische Invariante gegen Anderson-Lokalisierung geschützt sind. Das Ziel des Problembereiches II ist es, das gesamte Arsenal der Streutheorie für periodische Hintergrundoperatoren zu entwickeln. Hauptanwendung wäre dann ein Beweis von neuartigen Levinson-Theoremen, die einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der gebundenen Zustände und der totalen Streuphase herstellen.

  • I. Lokalisierung und Delokalisierung im 2- und 3-dimensionalen Anderson-Modell
    II. Störungstheorie fur quasi-eindimensionale zufällige Medien
    III. Mott-Leitfähigkeit aus Irrfahrt in ungeordnetem Medium
    IV. Mathematische Aspekte des Quanten-Hall-Effekts

    (Drittmittelfinanzierte Einzelförderung)

    Laufzeit: 01-02-2006 - 30-09-2009
    Mittelgeber: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG)

    Im Rahmen diese Projektes wurden verschiedene Fragestellungen aus dem Bereich der Fest-
    körperphysik ungeordneter Systeme rigoros analysiert. Die meisten Fortschritte wurden bei
    der kontrollierten Störungstheorie für quasi-eindimensionale zufällige Medien gemacht, die es
    nun erlauben, auch so genannte Anomalien zu untersuchen. Dies erlaubt insbesondere auch
    Verbindungen zur Theorie der vollen Zufallsmatrizen herzustellen. Es wurde Delokalisierung
    für bestimmte quasi-eindimensionale ungeordnete Systeme mit Zeitumkehrinvarianz und un-
    geradem Spin bewiesen.
    Diese und damit verwandte Fragestellungen führten auf natürliche Art und Weise zu struk-
    turellen und modellunspezifischen Untersuchungen von Jacobi-Matrizen mit Matrixeinträgen.
    Hierbei wurden folgende Ergebnisse erzielt: es wurde eine Sturm-Liouville-Oszillationstheorie
    entwickelt, die die Berechnung des Spektrums wesentlich erleichtert (auch numerisch). Au-
    ßerdem wurde die Weyl-Titchmarch-Theorie der symmetrischen Erweiterungen für Jacobi-
    Matrizen mit Matrixeinträgen entwickelt. Zu guter Letzt wurden auch aus dem Eindimensio-
    nalen bekannte spektrale Mittelungstechniken übertragen.

Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg